PROGRAMA DERIVE

Derive - Límites y Derivadas by Joseph Lusac Sanchez Ram

Funciones y dependencia entre magnitudes variables

El concepto de función

Consideremos algunas fórmulas algebraicas que, a cada valor de las magnitudes literales que aparecen en ella, haga corresponder un valor de la magnitud expresada por la fórmula; ésta es la idea básica de función.

En el siglo XVI, el problema central de la física fue el estudio del movimiento. Las necesidades de la vida diaria y el desarrollo del conjunto de la ciencia condujeron a la física a este problema, así como a otros que aparece la interdependencia de magnitudes variables.

Como reflejo de las propiedades generales del concepto de cambio aparecen en la matemática los conceptos de magnitud variable y de función, y fue esta extensión capital del objeto de la matemática lo que determinó la transición a una nueva etapa: a la matemática de las magnitudes variables.

Igual que el concepto de número real es la imagen abstracta del valor real de una magnitud arbitraria, así una variable es la magnitud abstracta de una magnitud que varía. Una variable matemática es algo, o mas exactamente, cualquier cosa que puede tomar distintos valores numéricos. 

Podemos considerar que una función es una relación abstracta de la dependencia de una magnitud  variable con respecto a la otra.

El concepto matemático de una función es la generalización abstracta de las interdependencias entre magnitudes variables (la distancia depende del tiempo, el alargamiento de un resorte depende del peso que soporta, el costo de una lata depende de la cantidad de material usado, etc.)

En matemática, la afirmación de que y es una función de x significa que a cada valor posible de x le corresponde un único valor definido de y. Esta correspondencia entre los valores de y y los valores de x se llama función.

La variable (dependiente) y es función de la variable (independiente) x si existe una regla por la cual a cada valor de x, perteneciente a un cierto conjunto de números, le corresponde un valor definido de y.

DEFINICION I (Función)

Dados dos conjuntos X y Y, se dice que está dada una FUNCIÓN de X en Y (o de X a Y), si se da una regla o ley que permite asociar a cada elemento de X un único elemento de Y.

DEFINICION II (Dominio, Codominio, Regla de correspondencia e Imagen)

Dada la función f:X→Y tal que y=f(x), X se dice DOMINIO de la función; Y se dice CODOMINIO o CONTRADOMINIO; f(x) se dice REGLA DE CORRESPONDENCIA y al conjunto de todas las imágenes se le dice IMAGEN o RANGO de la función

Funciones Reales de Variable Real

Dado que el Cálculo se aplica a la solución de problemas donde intervienen magnitudes físicas y éstas se miden con números reales, de todos los tipos de funciones que existen, en este curso nos interesará trabajar sólo con aquellas en las que ambas variables son números reales y este tipo de funciones reciben un nombre especial:

DEFINICIÓN III (Funciones reales de variable real)

Se dicen FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL a aquellas funciones f: X → Y en donde tanto el dominio X como el dominio Y pertenecen a los números reales

Aplicación de la Derivada

¿Que es una derivada?

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Aplicaciones

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto, como;

Con respecto a esta teoría responder los siguientes ejercicios.

Nota: Se agregan soluciones pero intenta hacerlos tu mismo ;)

Soluciones;

Reglas de Derivación: Regla de la Cadena

REGLAS DE DERIVACIÓN
Regla de la cadena

Definición

Si g es derivable en x  y f es derivable g(x), entonces la función compuesta F = f ○g definida mediante F(X) = F(g(x)) es derivable en x, y F' está dada por el producto:

F'(x) =f'(g(x)) ･ g'(x)

En la notación de Leibniz, si y = f(u) y u = g(x) son funciones derivables, entonces:

Ejemplos simples

A continuación se muestran algunos ejemplos con los que se puede aprender y comprender la regla de la cadena.

También podemos encontrar la deriva de otra forma, sin tener que encontrar u ni u', la cuál se trata de hallar la derivada de lo que se encuentro fuera y después multiplicarla por la derivada de lo de adentro y así sucesivamente. Para entenderlo mejor se dan lo siguientes ejemplos.

El enlace siguiente es una página web dedicada a la comprensión y realización de ejercicios de la regla de la cadena, y también cuenta con un rápido test de los ejercicios que se dan.

Tutoriales para Cálculo Aplicado - REGLA DE LA CADENA

Y un vídeo del Profesor Julio Rios donde explica cómo derivar una función utilizando la regla de la cadena. 

Límite de una función y continuidad

Límites y Continuidad

Para hacer que sus estudios sean de mayor fácilidad y puedan obtener mejores resultados uno de nuestros profesores de la instutución, el profesor e ingeniero Angel Balderas, nos permitio utilizar algunos de sus apuntes elaborados por él mismo que les seran de mucha utilidad para aprender este tema:

Esta pagina da las definiciones simples e informales de lo que se representa en un limite de manera sencilla y corta (leer para entender básicamente que es un límite): 

Definicion informal límites

Ahora a continuación accedan a la siguiente pagina que contienen ejercicios muy didacticos sobre limites y derivadas donde pueden mejorar prácticando ejemplos muy explicitos ademas de la información, bastante recomendada.

Limites y Continuidad con ejercicios

y para nuestros alumnos de aprendizaje visual tambien tenemos una excelente gama de videos de un grande de la internet que más de uno reconocera. Gran forma de aprender y sin tantos rodeos pueden checar estos videos a partir del video numero 10:

Julio Profe!

Ya por último les agregamos una calculadora de límites que les puede ayudar mucho para checar sus ejercicios o por si tienen duda de lo que estan haciendo vale:

Calculadora límites

nota: para usar bien la calculadora les recomendamos hacer click en el link que dice "mostrar ayuda" al lado del botón calcular para saber como agregar simbología y acciones, etc.

DERIVADAS

Las derivadas son unas funciones matemáticas que, a partir del siglo XVII, gracias a los estudios de Isaac Newton y Leibniz, dieron solución al cálculo infinitesimal, que se había empezado a estudiar en la Grecia clásica, más o menos en siglo III a. C. Cada uno de estos dos autores crearon un sistema de cálculo propio. La importancia de las derivadas está en que, hoy día, no es posible entender el mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea. A lo largo de los siglos, otros matemáticos y científicos han aportado muchísimos estudios para mejorar y hacer más exactos los cálculos.

Nota: 
Algo a tomar en cuenta es, que, hay un teorema que nos dice:
si una función es derivable en un intervalo, entonces esa función es continua en ese intervalo. 
Este teorema nos puede servir bastante para ligar el tema anterior de límites y continuidad con este nuevo tema.


El siguiente enlace es de una página que les recomiendo ampliamente chequen, viene teoría desarrollada de una manera bastante amigable, la página cuenta con ejemplos y ejercicios que pueden realizar para practicar, al final de cada hoja de ejercicios viene un enlace para que puedan dirigirse a la pagina de resultados y poder verificarlos.

derivadas/vitutor

Una herramienta bastante útil al momento de hacer ejercicios de derivadas es poder verificar nuestro resultado, para esto se puede usar el libro, aunque no vienen todos los resultados, o programas como Derive, MatLab, etc, sin embargo también hay paginas que nos ayudan en esto. 
El siguiente enlace es de una página que nos ayuda a comprobar derivadas, es importante que lean el apartado de mostrar ayuda para que no tengan ninguna duda de como ingresar las funciones.

calculadora de derivadas

Varios de ustedes ya conocerán el canal de Julio Profe en YouTube, a los que no, es un canal recomendable para ver explicaciones de temas de matemáticas, así como la resolución de varios ejemplos que se presentan, para este tema nos interesa que chequen conforme lo necesiten los videos de la lista de reproducción de "Cálculo" en el cual a partir del video 26 se abordan los temas de derivadas.
Les dejo el enlace directo a el canal de Julio Profe en la lista de reproducción Cálculo:

canal Julio Profe

En el tema de las derivadas es bastante importante que practiquen realizando distintos ejercicios ya que solo así podrán agarrar agilidad para trabajar con cualquier tipo de función, tener siempre sus tablas y buscar tablas completas es importante ya que nos facilita el encontrar la derivada de las funciones. 

En su libro ya tienen una tabla de derivadas, por lo regular se encuentran al final del libro, si no aquí les dejo algunos enlaces con tablas de derivación:

tablas derivadas 1

tablas derivadas 2