Funciones y dependencia entre magnitudes variables

El concepto de función

Consideremos algunas fórmulas algebraicas que, a cada valor de las magnitudes literales que aparecen en ella, haga corresponder un valor de la magnitud expresada por la fórmula; ésta es la idea básica de función.

En el siglo XVI, el problema central de la física fue el estudio del movimiento. Las necesidades de la vida diaria y el desarrollo del conjunto de la ciencia condujeron a la física a este problema, así como a otros que aparece la interdependencia de magnitudes variables.

Como reflejo de las propiedades generales del concepto de cambio aparecen en la matemática los conceptos de magnitud variable y de función, y fue esta extensión capital del objeto de la matemática lo que determinó la transición a una nueva etapa: a la matemática de las magnitudes variables.

Igual que el concepto de número real es la imagen abstracta del valor real de una magnitud arbitraria, así una variable es la magnitud abstracta de una magnitud que varía. Una variable matemática es algo, o mas exactamente, cualquier cosa que puede tomar distintos valores numéricos. 

Podemos considerar que una función es una relación abstracta de la dependencia de una magnitud  variable con respecto a la otra.

El concepto matemático de una función es la generalización abstracta de las interdependencias entre magnitudes variables (la distancia depende del tiempo, el alargamiento de un resorte depende del peso que soporta, el costo de una lata depende de la cantidad de material usado, etc.)

En matemática, la afirmación de que y es una función de x significa que a cada valor posible de x le corresponde un único valor definido de y. Esta correspondencia entre los valores de y y los valores de x se llama función.

La variable (dependiente) y es función de la variable (independiente) x si existe una regla por la cual a cada valor de x, perteneciente a un cierto conjunto de números, le corresponde un valor definido de y.

DEFINICION I (Función)

Dados dos conjuntos X y Y, se dice que está dada una FUNCIÓN de X en Y (o de X a Y), si se da una regla o ley que permite asociar a cada elemento de X un único elemento de Y.

DEFINICION II (Dominio, Codominio, Regla de correspondencia e Imagen)

Dada la función f:X→Y tal que y=f(x), X se dice DOMINIO de la función; Y se dice CODOMINIO o CONTRADOMINIO; f(x) se dice REGLA DE CORRESPONDENCIA y al conjunto de todas las imágenes se le dice IMAGEN o RANGO de la función

Funciones Reales de Variable Real

Dado que el Cálculo se aplica a la solución de problemas donde intervienen magnitudes físicas y éstas se miden con números reales, de todos los tipos de funciones que existen, en este curso nos interesará trabajar sólo con aquellas en las que ambas variables son números reales y este tipo de funciones reciben un nombre especial:

DEFINICIÓN III (Funciones reales de variable real)

Se dicen FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL a aquellas funciones f: X → Y en donde tanto el dominio X como el dominio Y pertenecen a los números reales